非等差数列巧求和

2011-10-20 12:17:14 来源:网络 分享资源

例1:计算:
  
  19+199+1999+19999+199999
  
  解:
  
  19+199+1999+19999+199999
  
  =20+200+2000+20000+200000-1×5=222220-5
  
  =222215
  
  例2:1^2+2^2+3^2+4^2+……+10^2
  
  运用公式:1^2+2^2+3^2+……+N^2=N(N+1)×(2N+1)÷6
  
  解:1^2+2^2+3^2+……10^2
  
  =10×(10+1)×(2×10+1)÷6
  
  =10×11×21÷6
  
  =385
  
  例3:2+8+18+32+……+200
  
  解:2+8+18+32+……+200
  
  =2×(1+4+9+16+……+100)
  
  =2×(1^2+2^2+3^2+4^2+……+10^2)
  
  =2×[10×(10+1)×(2×10+1)÷6]
  
  =2×10×11×21÷6
  
  =770
  
  例4:20^2+21^2+22^2+……+50^2
  
  解:20^2+21^2+22^2+……+50^2
  
  =(1^2+2^2+3^2+……+50^2)-(1^2+2^2+3^2+……+19^2)
  
  =50×(50+1)×(2×50+1)÷6-19×(19+1)×(2×19+1)÷6
  
  =42925-2470
  
  =40455
  
  例5:一堆相同的立方体堆积如右图所示,第一层1个,第2层3个,第三层6个,……,第二十层有多少个?
  
  解:第一层有:1个
  
  第二层有:1+2个
  
  第三层有:1+2+3=6个……
  
  第二十层有:1+2+3+……+20=210个
  
  ____________________练习_____________________
  
  (1)599996+49997+3998+409
  
  解:原式=600000+50000+4000+400-4-3-2+9=654400
  
  (2)3+12+27+……+1200
  
  解:原式=3×(1+4+9+……400)=3×(1^2+2^2+3^2+……+20^2)
  
  =3×20×(20+1)×(2×20+1)÷6=3×20×21×41÷6=8610
  
  (3)1^2+2^2+3^2+……+100^2
  
  解:原式=100×(100+1)×(2×100+1)÷6
  
  =100×101×201÷6
  
  =338350
  
  (4)50^2+51^2+52^2+……+100^2
  
  解:原式=(1^2+2^2+3^2+……+100^2)-(1^2+2^2+3^2+……+49^2)
  
  =100×(100+1)×(2×100+1)÷6-49×(49+1)×(2×49+1)÷6
  
  =338350-40425
  
  =297925
  
  (5)5+20+45+80+……+500
  
  解:原式=5×(1+4+9+16+……+100)
  
  =5×(1^2+2^2=3^2+4^2+……+10^2)
  
  =5×[10×(10+1)×(2×10+1)÷6]
  
  =1925
关键词:趣味数学

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